Elementos que definen a la elipse

ELEMENTOS QUE DEFINEN A LA ELIPSE

Lo elementos que  definen a la elipse son :

• Focos (F, 'F)
• Eje mayor que es es la recta que pasa por los focos y su longitud es de 2a
• Eje menor cuya longitud es 2b
• Eje focal que es la recta que pasa por los focos
• Centro que es la intersección con los ejes. El centro tiene coordenadas (h,k)
• Distancia focal que es la distancia del centro a uno de los focos, la distancia focal se define como:      
• El lado recto que es una cuerda que pasa por un foco perpendicularmente
• Cuerda focal que es una cuerda que pasa por uno de los focos de la elipse

Brenda Denisse Victorio Guerrero 306

ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

 

Definicion de circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Centro, es el punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia.

Radio, la medida del segmento que une el centro, con cada punto de la circunferencia.

Ecuación Ordinaria de la circunferencia con Centro en el origen y radio r.

 

x2+y2=r2

 

 

Definición geométrica de la elipse

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría

a) como un lugar geométrico 

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F₁ y F₂ en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF₁ + PF₂ = 2a).

Si F₁ y F₂ son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F₁F₂, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde  es la medida del semieje mayor de la elipse.

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Proyecto Elipse_Circunferencia: Tangente a la Circunferencia: Veró...

Proyecto Elipse_Circunferencia: Tangente a la Circunferencia:                 Veró...: Tangente a la Circunferencia:                 Verónica Torres Guzmán y Aarón Castillo Argumedo        

Fuentes de Información
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/circunferencia.html
 http://www.ditutor.com/geometria/circunferencias_tangentes.html                                   ...

Tangente a la Circunferencia:                 Verónica Torres Guzmán y Aarón Castillo Argumedo
                                                             Grupo:306


La tangente a un círculo es una recta en el plano del círculo que interseca al círculo en exactamente un
punto. El punto en el que la tangente toca el círculo es el punto de tangencia. O también se rescata esta definición: La recta tangente a una circunferencia, en un punto P(x,y) sobre ella, es la recta perpendicular al vector CP ("radio"), y que pasa por P.

La pendiente de la tangente a la C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva es, por definición,     En este caso, y debido a la continuidad de la curva, cuando  y se tiene que: .     De este modo, la recta tangente t a la curva C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación:  que se puede escribir en la forma:  o también, . Pero como P1(x1, y1) está en la circunferencia, x12 + y12 = r2.  Así que la tangente a la curva x2 + y2 = r2 en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación:      Como un corolario puede mostrarse que la tangente t a x2 + y2 = r2 por el punto P1(x1, y1) es perpendicular al radio . En efecto,  También,  Luego mt . m=-1 lo que nos demuestra que t es perpendicular a . Circunferencias tangentes Las dos circunferencias tienen un punto en común. Tangentes exteriores La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. Tangentes interiores La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. Hay dos rectas que pasen por un punto P(x,y) exterior a una circunferencia y que son tangentes a ella. Serán las rectas solución del sistema formado por el haz de rectas que pasa por el punto y la ecuación de la circunferencia.

Secciones Cónicas

Secciones Cónicas       por Eder Giovanni Lozada Larios

 

 

 

Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

 

La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

 

El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

 

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

 

 

A continuacion se encuentra una tabla de diferentes secciones conicas:

Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

 

α < β <90º

 

La elipse es una curva cerrada.

 

 

Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

 

β = 90º

 

La circunferencia es un caso particular de elipse.

 

 

 

Parábola

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

 

α = β

 

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

 

 

Hipérbola

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

 

α > β

 

La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FUENTES DE INFORMACIÓN:

 

Ciberografia:

 

www.ditutor.com/geometria_analitica/secciones_conicas.html

recursostic.educacion.es

 

PF₂+PF₁=2_A

PF₂₌√ (x-(x-c))² + (y-0)²

PF₁₌√ (x-c)² + (y-0)²

√ (x-c)² + y² + √ (x+c)² + y² = 2_A

√ (x+c)² + y² = 2_a - √ (x-c)² + y²

 (x+c)² + y²  = 4_a²-4_a√(x-c)² + y² + (x-c)² + y²

X² + 2xc + c² = 4a² – 4a√(x-c)² + y² + x² – 2xc + c²

4xc = 4a²- 4ª √(x-c)² + y²

Xc= a² – a √(x-c)² + y²

Xc – c² = -a√(x-c)² + y²

-Xc + a2 = +a√(x-c)² + y²

(a² – Xc )/ a = √(x-c)² + y²

a -(Xc / a ) = √(x-c)² + y²

(a-[Xc/a])² = (x-c)² + y²

a² – 2xc  + (x²c²/a²)= x² -2xc +c² + y²

x² – (c²/a²)x² – a² +c² + y²= 0

(a²-c²/a²)x² + c² – a² +y²= 0

(b²/a²)x² –b² + y²=0

(b²/a²)x² + y² = b²

(b²x² + a2y²)/a² = a²b²/a²

 b²x2 + a²y² = a²b²

([b²x²+a²]/a²b²)y² = a²b²/a²b²

(x²/a²)+(y²/b²)=1

Carlos Jacobo Morales Molina

                                                       

Datos obtenidos a traves del metodo del jardínero.

Información:
C= CENTRO
F, F'= FOCOS DE LA ELIPSE
AA' = VERTICES
dCF= c
triangulos = PnF'F
distancia focal= FF' = 2c
longitud del cordon > 2c
dCA = a
por lo tanto: AA' = 2a --> longitud del eje mayor

• Como F´F=2c (la base del triangulo PF´F) entonces la suma de longitud de los otros lados mide 2a= PF'+PF=2a
• Longitud del cordon= 2a+2c
• como la conclusion del cordon es 2a+2c entonces los perimetros de los triangulos formados por el cordon miden: 2a+2c

ALONDRA VELARDE FLORES VERDAD. GRUPO 306B.

Método del jardinero para la construcción de la elipse

Método del jardinero para trazar una elipse.            por Nidia Olivares Gutierrez

Esta construcción se basa en una técnica sintética mediante la cual se toma un hilo de longitud 2a que queda fijado por sus extremos en ambos focos. 

Manteniendo el hilo tenso, se dibujará la elipse, ya que todo punto P de la figura verifica que su suma de distancias a los focos es constante y vale 2a (por ser la longitud del hilo).

Procedimiento:

Primero deben dibujarse perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo y situar el eje Y en la dirección N-S, y el eje X en la dirección E-O.

 Luego hemos de señalar los dos focos que están en el eje X a ambos lados del centro a una distancia c , es decir, en los puntos (c,0) y (-c, 0).

 Después, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujar la elipse tal como se ve en la figura.  

    

Para lograr un mejor entendimiento  del método del jardinero ve el siguiente vídeo en la siguiente dirección URL

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=81NbgFpAfOU

Bibliografía:  

Casanova Graciela Mónica. Cónicas por siempre.Un lugar geométrico. Tesina para obtener el título de Profesor de Matemática.Instituto Superior fundación Susuki.San Miguel. Buenos Aires. Argentina.  

Ibáñez Torres Raúl. "Construcción de curvas planas. divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option...75

www.julioprofe.net "Trazado de una elipse y sus elementos principales. video en You tube.